Obsah

1 Matematický popis podzemního proudění a transportu látky

Matematický popis podzemního proudění a transportu látky

$p$	tlak
$φ$	piezometrická výška $\phi = z +\frac{p}{\varrho g}$
$S$	saturace
$\vec q$	Darcyovská rychlost (hustota toku)
$\vec v$	průměrná rychlost (transport) $\vec v=\frac{\vec q}{n}$
$\boldsymbol{K}$	hydraulická vodivost horniny (tenzor)
$n$	porozita
$c$	koncentrace rozpuštěné látky ve vodě

Rovnice proudění

Proudění v porézním prostředí je řízeno soustavou dvou diferenciálních rovnic: Darcyho zákona a rovnice bilance hmoty (kontinuity)

$\vec q = - \boldsymbol{K}(S) \cdot (\nabla p + \varrho g \nabla z)$

$\frac{\partial (n S)}{\partial t} \ + \ \nabla \cdot \vec u \ = \ q \ ,$

které je třeba dále doplnit vztahy mezi tlakem, saturací a propustonstí. Vztah tlaku a saturace udává např. Van Genuchtenova retenční křivka

$S(p) = \frac{1}{\left( 1+ \alpha |p|^m \right)^{\frac{m-1}{m}} } \quad \mbox{pro }p\le 0$

a závislost propustnosti na saturaci je dána Irmayovým vztahem

$\boldsymbol{K}(S) = \boldsymbol{K}\cdot S^3$

Rovnice transportu látek

Transport rozpuštěných látek probíhá advekcí a disperzí, řídící rovnice je

$\frac{\partial c}{\partial t} +\nabla \cdot (c \vec v) - \nabla\cdot (\boldsymbol{D}_h \nabla c) = \frac1n ( P^+ c^* + P^- c ) + \frac{r}{n}$

kde disperzní koeficienty závisí na rychlosti

$[\boldsymbol{D}_h]_{ij} = \alpha_T.|\vec{v}|.\delta_{ij} + (\alpha_L-\alpha_T) \frac{v_i \, v_j}{|\vec{v}|}$

a členy na pravé straně vyjadřují změny množství látky vlivem čerpání, vtláčení a chemických reakcí nebo interakce s horninou.

Transport v prostředí s dvojí porozitou

Situace je popsána dvěma neznámými funkcemi koncentrace: v zóně průtočných pórech $c_m(\boldsymbol{x},t)$ (mobile) a v zóně slepých pórů $c_i(\boldsymbol{x},t)$ (immobile). Transport je popsán touto soustavou diferenciálních rovnic:

$\frac{\partial c_m}{\partial t} + \nabla \cdot(c_m \,\boldsymbol{v}) - \nabla \cdot (\boldsymbol{D}\, \nabla c_m) = \frac1{n_m}\alpha (c_i - c_m) +c^{*} q_s^+ + c_m q_s^- \,,$

$\frac{\partial c_i}{\partial t} = - \frac1{n_i}\alpha (c_i - c_m) \,,$

kde $n m$ a $n i$ je porozita samostatně pro průtočné a slepé póry, $\boldsymbol{v}$ je rychlost vypočtená modelem proudění, $\boldsymbol{D}$ je tenzor disperzních koeficientů, $q s$ je vtláčený (+) nebo čerpaný (-) objem vody a $c *$ je zadaná koncentrace v případě vtláčení. Koeficient $α$ vyjadřuje rychlost výměny mezi slepými a průtočnými póry, přenos látky je úměrný rozdílu koncentrací.

Citováno z „http://www.nti.tul.cz/cz/GW_eqn_cs“